Да, варить яйца в одной кастрюле с картофелем и морковью можно, это распространенная практика.
Я обычно кладу овощи и яйца одновременно, если они примерно одного размера, но яйца вынимаю раньше, через 10 минут после начала кипения. Так получается быстрее и удобнее всего.